Rezonans elektryczny

Opracowanie wyników

Strona w budowie
Na stronie tej zamieszczone są informacje niezbędne do właściwego opracowania otrzymanych rezultatów. Przy pomocy aparatury zastosowanej ćwiczeniu możemy wyznaczyć charakterystykę prądowo-częstotliwościową układu, a z niej częstotliwość rezonansową układu kolejno szeregowego, równoległego oraz kwarcowego, poprzez znalezienie ekstremum wykresu.
Możemy wyznaczyć dobroć każdego z układów, a otrzymane wyniki porównać z wartościami obliczonymi na podstawie danych układu i odpowiednich wzorów.
W obu układzie obwodu szeregowego i równoległego wykorzystano cewkę po indukcyjności równej 8mH i kondensator o pojemności 22nF.
Do opracowania wyników należy więc:

  • obliczyć częstotliwość rezonansową układów szeregowego i równoległego
  • obliczyć dobroć układu, korzystając z charakterystyki prądowo-częstotliwościowej otrzymanej podczas wykonywania eksperymentu
  • porównać wyniki obliczeń z wynikami eksperymentu.

Podstawowy wzór stosowany przy układach elektrycznych dotyczy zależności prądu od napięcia. Prawo Ohma opisane w 1826 roku przez niemieckiego matematyka Georg'a Ohma:

$$Z =\frac{U}{I}$$

gdzie $Z$ - impedancja (oporność przy napięciu zmiennym), $U$ - napięcie podane w woltach [V], $I$ - natężenie prądu w amperach [A].
W układach elektronicznych rezonans zachodzi tylko wtedy, gdy składowa urojona jest równa zeru, a znaczący jest tylko opór pochodzący od rezystora. Z tego wniosek, że impedancje pochodzące od cewki i kondensatora muszą się znosić. Aby tego dowieść zacznijmy od napisania równań napięć w obwodzie, wykorzystując prawa Kirchoffa.

Połączenie szeregowe

Napięcie źródła jest równe sumie napięć na poszczególnych elementach:

$U(t)=-E(t)=U_R(t)+U_C(t)+U_L(t)$, gdzie $U(t) = - E(t)$ to napięcie zasilania obwodu, $U_R(t)$ - napięcie na rezystorze, $U_C(t)$ - napięcie na kondensatorze, $U_L(t)$ - napięcie na cewce.
Impedancja na każdym elemencie z definicji wynosi:
$R$ - rezystancja na oporniku
$X_C = \frac{1}{i \omega C}$ – reaktancja na cewce
$X_L = i \omega L$ – reaktancja na kondensatorze
Podstawiając do równania napięć zależność prawa Ohma otrzymujemy:
$U_R$ = $I_R(t) \cdot R $ - napięcie na rezystorze
$U_C(t)$ = $I_C(t) \cdot X_C$ - napięcie na kondensatorze,
$U_L(t)$ = $I_L(t) \cdot X_L$ - napięcie na cewce,

Wiadomo, że w układzie szeregowym przez każdy element płynie jednakowy prąd. Zatem: $$U(t) = U_C(t)+U_R(t)+U_L(t) = I(t) \cdot (R+X_C+X_L)$$ $$U(t) = I(t) \cdot (R+\frac{1}{i \omega C} + i \omega L) = I(t) \cdot Z$$
Zatem impedancja $$Z = R+\frac{1}{i \omega C} + i \omega L
= R + i \cdot (\omega L - \frac{1}{\omega C})$$ bo $i \cdot i = -1$, zaś zawada $$|Z|= \sqrt{R^2+(\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$$

Jak widać moduł impedancji przyjmuje minimum gdy $\omega L= \frac{1}{\omega C}$ lub $\omega^2 = \frac{1}{LC}$ ponieważ $\omega =2 \pi \cdot f$

Ostatecznie częstotliwość rezonansowa dla szeregowego połączenia $R$, $L$ i $C$: $$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$$

cdn...

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
(Program Operacyjny Kapitał Ludzki)
Copyright © 2009-2011 Internetowe Laboratorium Fizyki